42. 连续子数组的最大和【DP】

1. 问题

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

• 1 <= arr.length <= 10^5

• -100 <= arr[i] <= 100

2. 标签

• 分治

• 动态规划

3. 解法 - 动态规划

3.1 Java

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        // 状态数组
        // dp[i] 表示以元素 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和
        int[] dp = new int[nums.length];

        // 边界值
        dp[0] = nums[0];

        // 最大和
        int max = dp[0];

        // 状态转移
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            if (dp[i - 1] <= 0) {
                // 此时说明 dp[i-1] 产生负贡献，还没有 nums[i]大，给 dp[i] 赋值为 nums[i] 即可
                dp[i] = nums[i];
            } else {
                // 此时说明 dp[i-1] 产生正贡献，累加上 nums[i] 后赋值给 dp[i] 即可
                dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];
            }
            // 若 dp[i] 大于 max，更新最大值即可
            if (dp[i] > max)
                max = dp[i];
        }
        // 返回最大值
        return max;
    }
}

3.2 Kotlin

class Solution {
    fun maxSubArray(nums: IntArray): Int {
        // 状态数组
        // dp[i] 表示以元素 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和
        val dp = IntArray(nums.size)

        // 边界值
        dp[0] = nums[0]

        // 最大和
        var max = dp[0]

        // 状态转移
        for (i in 1 until nums.size) {
            if (dp[i - 1] <= 0) {
                // 此时说明 dp[i-1] 产生负贡献，还没有 nums[i]大，给 dp[i] 赋值为 nums[i] 即可
                dp[i] = nums[i]
            } else {
                // 此时说明 dp[i-1] 产生正贡献，累加上 nums[i] 后赋值给 dp[i] 即可
                dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]
            }
            // 若 dp[i] 大于 max，更新最大值即可
            if (dp[i] > max)
                max = dp[i]
        }
        // 返回最大值
        return max
    }
}

3.3 复杂度分析

• 时间复杂度 O(N) ：线性遍历数组需要 O(N) 时间。

• 空间复杂度 O(N) ：状态数组 dp 占用了 O(N) 空间。

3.4 优化

由于 dp[i] 只和 dp[i-1] 以及 nums[i] 有关，所以可以直接把 nums 数组当作状态数组，即在 nums 上直接修改即可，这样可以使得空间复杂度从 O(N) 降到 O(1) 。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxValue = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            // 注意这里是 += 不是 =
            nums[i] += Math.max(nums[i - 1], 0);
            maxValue = Math.max(nums[i], maxValue);
        }
        return maxValue;
    }
}

4. 参考

• https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/

• https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/solution/mian-shi-ti-42-lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-do-2/