14-I. 剪绳子【DP/贪心】
1. 问题
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]k[1]...k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36提示：
2 <= n <= 58
2. 解法 - 动态规划
时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n)
2.1 Java
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
// 边界值
if (n < 2)
return 0; // return n;
else if (n == 2)
return 1;
else if (n == 3)
return 2;
// 状态数组
// dp[n]表示把长度为n的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值
// 特殊处理：如果某个长度的绳子，剪了一下之后，其中一段的长度在[0,3]的区间内，就不要再剪这一段了
// 因为剪了之后，乘积会变小，而dp[i]是长度为i的绳子剪成若干段后能获得的最大乘积
// 所以dp[0],dp[1],dp[2],dp[3]要单独处理
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
dp[3] = 3;
// 状态转移方程
// dp[n]表示把长度为n的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值
// dp[n] = max(dp[j] * dp[n-j]) 其中j的范围为：[1,n-1]
for (int i=4;i<=n;i++) {
// 当前绳子长度为i
// 乘积的最大值↓
int maxValue = 0;
// j从1开始是因为剪一刀子下去长度最少为1
// j最大为i因为当前绳子的长度为i
// 这里的循环条件可以改为j<=i/2，因为i/2之后算出来的就是重复的乘积了，当n特别特别大的时候，只算到i/2可以节省时间
for(int j=1;j<=i;j++) {
// 当前乘积
int product = dp[j] * dp[i-j];
if (product > maxValue)
maxValue = product;
}
// 把最大值存入dp数组
dp[i] = maxValue;
}
// 返回结果
return dp[n];
}
}2.2 Kotlin
class Solution {
fun cuttingRope(n: Int): Int {
// 边界值
if (n < 2)
return 0
else if (n == 2)
return 1
else if (n == 3)
return 2
// 状态数组
// dp[n]表示把长度为n的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值
// 特殊处理：如果某个长度的绳子，剪了一下之后，其中一段的长度在[0,3]的区间内，就不要再剪这一段了
// 因为剪了之后，乘积会变小，而dp[i]是长度为i的绳子剪成若干段后能获得的最大乘积
// 所以dp[0],dp[1],dp[2],dp[3]要单独处理
val dp = IntArray(n + 1)
dp[0] = 0
dp[1] = 1
dp[2] = 2
dp[3] = 3
// 状态转移方程
// dp[n]表示把长度为n的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值
// dp[n] = max(dp[j] * dp[n-j]) 其中j的范围为：[1,n-1]
for (i in 4..n) {
// 当前绳子长度为i
// 乘积的最大值↓
var maxValue = 0
// j从1开始是因为剪一刀子下去长度最少为1
// j最大为i因为当前绳子的长度为i
// 这里的循环条件可以改为j<=i/2，因为i/2之后算出来的就是重复的乘积了，当n特别特别大的时候，只算到i/2可以节省时间
for (j in 1..i) {
// 当前乘积
val product = dp[j] * dp[i - j]
if (product > maxValue)
maxValue = product
}
// 把最大值存入dp数组
dp[i] = maxValue
}
// 返回结果
return dp[n]
}
}3. 解法 - 贪心
时间复杂度：O(1)
空间复杂度：O(1)
3.1 Java
// 贪心算法
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
// 按照如下策略来剪绳子：
// 1. 当 n>=5 时 尽可能多地剪长度为3的绳子
// 2. 当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子
// 证明该思路的正确性：
// 1. 首先当 n>=5 时，可以证明 2(n-2)>n 且 3(n-3)>n。
// 也就是说当绳子剩下的长度大于或者等于5的时候，我们就把它剪成长度为3或者2的绳子段
// 另外 n>=5 时 3(n-3)>=2(n-2)，所以应该尽可能地多剪长度为3的绳子段
// 2. 当绳子的长度为4，由于2x2>1x3，所以剪成两段长度为2的绳子比较好
// 几个边界值
if (n < 2)
return 0;// return n;
if (n == 2)
return 1;
if (n == 3)
return 2;
// 尽可能多地剪去长度为3的绳子段
// numOf3 是绳子段长度为3的绳子数量
int numOf3 = n / 3;
// 当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段
// 此时更好的方法是剪成两段长度为2的绳子，因为2x2 > 3x1
// 如果n减去所有的3剩下了1，说明有一个3可以和这个1加起来等于4，这个4可以拆成2和2，于是3的数量就减一。
if (n - 3 * numOf3 == 1)
numOf3 -= 1;
// numsOf2 是绳子段长度为2的绳子数量
int numOf2 = (n - numOf3 * 3) / 2;
// 最大乘积
double maxProduct = Math.pow(3, numOf3) * Math.pow(2, numOf2);
return (int)maxProduct;
}
}3.2 Kotlin
// 贪心算法
class Solution {
fun cuttingRope(n: Int): Int {
// 按照如下策略来剪绳子：
// 1. 当 n>=5 时 尽可能多地剪长度为3的绳子
// 2. 当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子
// 证明该思路的正确性：
// 1. 首先当 n>=5 时，可以证明 2(n-2)>n 且 3(n-3)>n。
// 也就是说当绳子剩下的长度大于或者等于5的时候，我们就把它剪成长度为3或者2的绳子段
// 另外 n>=5 时 3(n-3)>=2(n-2)，所以应该尽可能地多剪长度为3的绳子段
// 2. 当绳子的长度为4，由于2x2>1x3，所以剪成两段长度为2的绳子比较好
// 几个边界值
if (n < 2)
return 0
if (n == 2)
return 1
if (n == 3)
return 2
// 尽可能多地剪去长度为3的绳子段
// numOf3 是绳子段长度为3的绳子数量
var numOf3 = n / 3
// 当绳子最后剩下的程度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段
// 此时更好的方法是剪成两段长度为2的绳子，因为2x2 > 3x1
// 如果n减去所有的3剩下了1，说明有一个3可以和这个1加起来等于4，这个4可以拆成2和2，于是3的数量就减一。
if (n - 3 * numOf3 == 1)
numOf3 -= 1
// numsOf2 是绳子段长度为2的绳子数量
val numOf2 = (n - numOf3 * 3) / 2
// 最大乘积
val maxProduct = Math.pow(3.0, numOf3.toDouble()) * Math.pow(2.0, numOf2.toDouble())
return maxProduct.toInt()
}
}4. 参考
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